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邮发代号:14-139
开本:16开
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例谈因式分解的方法

阅读数:37   发布时间:2020-07-12

郭武义

摘 要 典型题目编制,适时有效的课堂应用训练,会使学生对知识点的理解、掌握有很大的帮助和提高,提高了课堂学习效率。

关键词 有效命题 课堂训练题的有效性

中图分类号:G633.6 文献标识码:A

因式分解和整式的乘法是互逆运算,利用整式的乘法运算,可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式。反过来,在式的变形中,有时需要将一个多项式化成几个整式的乘积的形式。本文将通过实例探讨因式分解的方法。

1提取公因式法

1.1典例精析

例1:因式分解:(1)16x2y3+8x2y2z-12xy2z;

(2)15x(x-2y)3-20y(2y-x)3。

分析:第(1)小题的关键是确定公因式。公因式的确定方法:对于数字取各项系数的最大公约数,对于字母(含字母的多项式),取各项都含有的字母(含字母的多项式),相同的字母(含字母的多项式)的指数,取次数最低次幂,它们的乘积就是各项的公因式;第(2)小题先将(x-2y)3和(2y-x)3化成同底数幂,再提取公因式,变形时注意符号。

解:(1)原式=4xy2(4xy+2xz-3z)

(2)原式=15x(x-2y)3+20y(x-2y)3=5(x-2y)3(3x+4y)

例2:已知2x-y=,xy=2,求2x4y3-x3y4的值。

分析:先分解因式,再代值计算。

解:原式=x3y3(2x-y)=(xy)3(2x-y)

=23?

1.2跟踪训练

因式分解:(1)a2b3c+2ab2c3-ab2c;

(2)x(5-x)+2(x-5);

利用分解因式计算:86?01.5+33?01.5-19?01.5。

2公式法因式分解

2.1例题精析

例1:用平方差公式分解因式:

(1)a2y-16y; (2)(x+2)2-1; (3)y4-1。

分析:不能直接用平方差公式分解的,应考虑能否通过变形,创造应用平方差公式的条件。对于二项式的多项式因式分解,有公因式的先提公因式,然后再运用平方差公式;分解因式要彻底,一直要分解到不能分解为止,使每个因式不能含有还能继续分解的因式。

解:(1)原式=y(a2-16)=y(a+4)(a-4)

(2)原式=(x+2+1)(x+2-1)=(x+3)(x+1)

(3)原式=(y2+1)(y2-1)=(y2+1)(y+1)(y-1)

例2:已知x+y=3,x2-y2=6,求x,y的值。

分析:先将x2-y2分解因式后求出x-y的值,再与x+y组成方程组求x,y的值,这个题目是因式分解和方程组知识小综合题目,在课堂上训练此类题目学生会提高学生综合运用所学知识的能力。

解:依题意,得

(x+y)(x-y)=6.∴x-y=2

∴∴

例3:用完全平方公式分解因式:

(1)x2+xy+y2;

(2)(a2-2a)2+2(a2-2a)+1.

分析:完全平方公式:a2?ab+b2=(a眀)2,即两个数的平方加上(或減去)这两个数的乘积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方。其中a2?ab+b2叫完全平方式,完全平方式其中有两项能写成两个数或两个式子的平方的形式,且符号相同,另一项为这两个数或两个式子积的2倍或2倍的相反数。第(1)题先找准是哪两个数的平方和,既确定公式中的a、b,再判断是否符合完全平方式结构;第(2)小题先要把括号里的式子看作一个整体,分解后要继续分解到不能分解为止。

解:(1)原式=(x+y)2

2)原式=(a2-2a+1)2=[(a-1)2]2=(a-1)4。

例4:已知 x+ =8,求:

(1)x2+的值; (2)(x- )2的值。

分析:这里需要活用公式,如x2+=(x+ )2-2,(x- )2=(x+ )2-4将两个完全平方公式进行互相转化。这里有(a-b)2=(a+b)2-4ab的应用。

解:(1)x2+=(x+ )2-2=82-2=62。

(2)(x- )2=(x+ )2-4=82-4=60。

例5:已知|x-2︱+y2 -y+ =0,求yx的值。

分析:先分解因式得到两个非负数的和,再根据绝对值和完全平方数的非负性求出a,b。既若几个非负数的和等于0,则这几个非负数同时等于0。

解:依题意,得|x-2︱+(y-)2=0

∴ ∴

∴yx=()2=

完全平方公式应用总结:(1)注意完全平方式有两个;(2)用完全平方式分解因式,关键在于观察各项之间的关系,配凑公式a2?ab+b2=(a眀)2中的a、b。

2.2跟踪训练

(1)因式分解 :

③x5-x; ④(x+2y)2-4(x-y)2。

(2)因式分解:

①(a2-4a)2+8(a2-4a)+16; ②3x2-18x+27;

③x2+xy+y2。

(3)利用因式分解计算:1022+102?96+982。

(4)如果x2+mxy+36y2是一个完全平方式,那么m的值是________。

3十字相乘法因式分解

新人教版八年级上册教材中x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解也叫做十字相乘法因式分解,也叫做二次三项式因式分解,通常有两种类型。利用十字相乘法分解因式,实质上是逆用(px+m)(qx+n)竖式乘法法则.它的一般规律分两种类型。

类型1:对于x2+bx+c,若c=pq, b=p+q,则x2+bx+c=x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。

3.1例题精析

例1:把下列各式分解因式:

(1)x2+8x+7;(2)x2-3x+2。

分析:(1)常数项7可分为1?,且1+7=8恰为一次项系数;

(2)常数项2可分为(-1) ?-2),而(-1)+(-2)=-3恰为一次项系数。

解:(1)x2+8x+7= x2+(1+7)x+1?=(x+1)(x+7);

(2)x2-3x+2= x2+(-1-2)x+(-1) ?-2)=(x-1)(x-2)

类型2:对于ax2+bx+c,若a=pq,c=mn,b=pn+qm,其中a﹥0,p﹥0,q﹥0,则ax2+bx+c=pq x2+(pn+qm)+mn=(px+m)(qx+n)

例2:把下列各式分解因式:

(1)2x2+5x-7;(2)3x2+11x+6。

分析:我们要把多项式ax2+bx+c分解成形如(px+m)(qx+n)形式。二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时,二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大,往往要试验多次,这是用十字相乘法分解的难点,要适当增加练习,积累经验,才能提高速度和准确性.具体的方法是“一拆二加三横写”。如第(1)小题“一拆”为:

十字交叉相乘相加即“二加”为2?-1)+1?=5,“三横写”为 (2x+7)(x-1)。这里也可以概括为“拆两头,凑中间”。

解:(1)2x2+5x-7=(2x+7)(x-1);

(2)3x2+11x+6=(x+3)(3x+2)。

3.2跟踪训练

将下列多项式分解因式:

(1)x2-7x+6; (2)3x2+2x-1; (3)x2+5x-6;

(4)4x2-5x-9; (5)15x2-23x+8; (6)x4+11x2-12。

4結语

课堂上师生共同探讨完成例题解答,让学生独立完成跟踪训练,教师答疑指导。典型题目编制,适时有效的课堂应用训练,会使学生对知识点的理解、掌握有很大的帮助和提高,提高了课堂学习效率。本文内容在实施教学过程中要分几个课时进行。

参考文献

[1] 余文森.有效教学的实践与反思[M].西安:陕西师范大学出版总社有限公司,2008.

[2] 赵文刚.课堂练习设计与考试命题技术实践研究[M].西安:陕西师范大学出版总社有限公司,2011.

[3] 邓红英.初中数学教学有效练习设计策略研究[A].2014.

[4] 李海东.义务教育教科书八年级数学上册教师教学用书[M].


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